Verteilungsfunktion |X-Y| < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Di 19.12.2006 | | Autor: | Kody |
| Aufgabe | gegeben: Zufallsvariablen X,Y unabhängig und gleichverteilt über das Intervall [a,b].
zu berechnen: P(|X-Y| [mm] \le [/mm] v)
zu bestimmen ist die Verteilfunktion [mm] F_{Z}(v). [/mm] |
Versuche grade, eine allgemeine Lösung nachzuvollziehen (von der ich allerdings nur das Ergebnis kenne), komme aber nicht ganz auf des selbe Ergebnis und finde meinen Fehler nicht.
[mm] Q_{v} [/mm] = {(t,u)| |t-u| [mm] \le [/mm] v}
also t-v [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] t+v
Z=|X-Y|
Berechnet werden muss [mm] F_{Z}(v)= \integral_{Q_{v}}^{}{f_{XY}(t,u)dtdu}
[/mm]
[mm] f_{X}(t)=\begin{cases} 1/(b-a), & \mbox{für den Def.bereich } \\ 0, & \mbox{für sonst} \end{cases}
[/mm]
analog [mm] f_{Y}(t).
[/mm]
Also ist [mm] f_{XY}=(1/b-a)² [/mm] im Def.bereich, sonst = 0.
Mein Integral müsste dann so aussehen:
[mm] F_{Z}(v)\integral_{t-v}^{t+v} \integral_{a}^{b}{f_{XY}(t,u)dtdu}=...
[/mm]
= (1/b-a)²(2v(b-a))
Allerdings steht in der Lösung (1/b-a)²(2v(b-a)-v²)
nur woher kommt dieses -v²? Mein Ansatz für die Integrationsgrenzen scheint also falsch zu sein, nur kenn ich mich in der Stochastik nicht alzu gut aus... Wäre nett, wenn mir jmd auf die Sprünge helfen könnte.
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Mi 20.12.2006 | | Autor: | luis52 |
Moin Kody,
du hast Recht, du warst mit der Angabe der Integrationsgrenzen zu
vorschnell. Mache dir zwei Skizzen, in die du jeweils das Quadrat
[mm] $[a,b]\times[a,b]$ [/mm] einzeichnest. Zeichne in die eine die Geraden
[mm] $y=x\mp [/mm] v$ im Fall [mm] $v\le(b-a)/2$ [/mm] und in die andere die Geraden
[mm] $y=x\mp [/mm] v$ im Fall $v>(b-a)/2$.
Der Punkt, wo die Gerade $y=x+v$ bzw. $y=x-v$ in das Quadrat
eintritt, liegt bei [mm] $x_1=b-v$ [/mm] bzw [mm] $x_2=a+v$.
[/mm]
Der ersten Skizze [mm] ($v\le(b-a)/2$) [/mm] kannst du entnehmen:
[mm] $F_z(v)=\frac{1}{(b-a)^2}=\int_a^{a+v}\int_a^{x+v}\,dy\,dx [/mm] + [mm] \int_{a+v}^{b-v}\int_{x-v}^{x+v}\,dy\,dx [/mm] + [mm] \int_{b-v}^{b}\int_{x-v}^{b}\,dy\,dx=\frac{2v(b-a)-v^2}{(b-a)^2}\,,$
[/mm]
wie behauptet.
Aus der zweiten Skizze ($v>(b-a)/2$) folgt
[mm] $F_z(v)=\frac{1}{(b-a)^2}=\int_a^{b-v}\int_a^{x+v}\,dy\,dx [/mm] + [mm] \int_{b-v}^{a+v}\int_{a}^{b}\,dy\,dx [/mm] + [mm] \int_{a+v}^{b}\int_{x-v}^{b}\,dy\,dx=\frac{2v(b-a)-v^2}{(b-a)^2}\,,$
[/mm]
ebenfalls wie behauptet.
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Kody |
Hey vielen Dank. Meine Rettung :)
Gruß
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